L'égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de Rayleigh) est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine Parseval. Cette formule peut être interprétée comme une généralisation du théorème de Pythagore pour les séries dans les espaces de Hilbert.
Dans de nombreuses applications physiques (courant électrique par exemple), cette formule peut s'interpréter comme suit : l'énergie totale s'obtient en sommant les contributions des différents harmoniques.
Si est une base hilbertienne d'un espace de Hilbert H, ie une famille dénombrable orthonormée dont l'espace engendré est dense dans H. Pour tout h dans H, on note cn(h): = < h | en > (par convention, le produit scalaire est linéaire à gauche, antilinéaire à droite). L'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et affirme l'identité :
L'égalité de Parseval existe aussi dans le cas où le Hilbert est de dimension finie, elle s'applique par exemple en analyse harmonique sur un groupe abélien fini.
On suppose que f est T-périodique et de carré intégrable (c'est donc valable notamment pour f continue par morceaux). On définit les coefficients de Fourier de f :
L'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et énonce l'identité :
Si la fonction f est à valeurs réelles, on peut adopter les conventions suivantes :
L'égalité de Parseval devient :
Attention : certains auteurs préfèrent une convention pour laquelle l'expression de a0 est aussi en 2/T :
Mais la formule de Parseval devient alors :
On note l'espace vectoriel des suites cn (n entier relatif), telle que la série de terme général | cn | 2 converge.
Le théorème de Riesz-Fischer permet d'énoncer qu'une telle suite cn est la suite des coefficients de Fourier d'une fonction de carré intégrable, T périodique.
Ainsi il y a isomorphisme entre les espaces des fonctions de carré intégrable et T périodiques et . La formule de Parseval montre qu'il s'agit même d'une isométrie.